迷人的數學史:那些喪失的不確定性

迷人的數學史:那些喪失的不確定性

2019-05-20 18:08:32  科技日報
本文作者:趙青新

發表時間:2019-05-20 18:08:32作者:趙青新來源:科技日報字體大小:A+  A-

莫里斯·克萊因是美國著名的應用數學家、數學史學家、數學哲學家和教育家。《數學簡史:確定性的喪失》是其經典代表作,這本書在20世紀的科學界乃至整個文化界都頗有影響。

在《數學簡史》的序言扉頁,克萊因引用了亨利·龐加萊的名言:“要預見數學的未來,正確的方法是研究它的歷史和現狀。”這段題詞也出現在克萊因另一部代表作《古今數學思想》的序言,因為這句話正好體現了克萊因的核心思想。《數學簡史》就是秉持著這樣的原則,從古希臘的畢達哥拉斯派講起,溯流而下,遵從歷史的脈絡一直到達20世紀晚期。克萊因也因此被人看作是科學哲學中標準的歷史主義學派代表。

早在結繩記事的時代,人們就學會了“數”。不過,“數”成為數學,在西方,是從古希臘開始的。早期的數學并不像今天那樣枯燥,似乎就是一大堆的符號、公式和定理。面對混亂、反復無常的大自然,希臘的哲人們在追問:宇宙的運轉是有計劃的嗎?植物、動物、人類、星系、光和聲,它們是不是某個完美設計的一部分?亞里士多德、柏拉圖、歐幾里得、阿基米德等紛紛投身于數學研究,在很大程度上,數學也和古希臘的邏輯學、天文學、地理學、光學、力學等交織在一起,共同構成著西方文明的源頭——希臘文明。

古希臘人認為,數學實質上存在于宇宙萬物中,它是關于自然界結構的真理,或者如柏拉圖所說,是物質世界的客觀存在。宇宙中存在著規律和秩序,數學是達到這種秩序的關鍵,人類的理性則可以洞察這個設計并且揭示其數學結構。天文學家開普勒說:“對外部世界進行研究的目的在于發現上帝賦予它的合理次序與和諧,而這些是上帝以數學的語言透露給我們的。”開普勒、笛卡爾、伽利略以及牛頓的數學研究,主要目的都是為了揭示上帝的自然設計的真相,他們信奉數學的真理性,然而,這些偉大的科學家在研究中漸漸開始懷疑:上帝這位“鐘表匠”是否是“盲眼”的呢?

數學確定性的喪失,經歷了幾次沖擊:非歐幾何和四元數理論的出現使人們認識到,外部物質世界并非必須遵循數學定律;無理數、負數、復數等不合邏輯的發展,讓代數不得不獨立于幾何而存在;牛頓和萊布尼茨的微積分研究和建立在微積分基礎上的其他分析分支的邏輯,則讓數學處于一種混亂的狀態;人們決定重建數的邏輯結構,極限的思想和一系列數學理論分析的嚴密化,似乎解除了部分危機,然而很快集合論里出現悖論,再次挑戰了數學的基礎;為了重建數學基礎和解決數學的矛盾,人們試圖從集合論的公理化、邏輯主義、直觀主義和形式主義四個方面對基礎的根本問題作出解答,這個時期被克萊因形容為“戰國時代”,可惜卻無人能夠提供一個可以普遍接受的途徑。不僅如此,1931年哥德爾的不完全性定理,再一次讓數學回到了孤立無援的境地。

數學思想和研究的發展是匯聚不同成果、點滴積累而成的,有時需要幾代人、數百年的努力才能取得一點有意義的進步。帕斯卡說:“當我們援引作者時,我們是援引他們的證明,不是援引他們的姓名。”克萊因很欣賞這句話,他對數學課題的研究、數學思想的研究要遠遠超過對數學家個人的講述,他希望梳理每一次數學發展或者危機的前因后果,這也是他孜孜不倦地進行數學教育的一種愿望。

那么,數學該向何處去?克萊因態度明確:“數學自命為真理”的認識已經是必須拋棄的,但人們并不需要為此悲觀。克萊因列舉約翰·密爾、羅素、波普爾等人的發言做了闡釋,數學家并不像古典時期所認為的那樣依賴于嚴密的證明,其創造的意義超過任何形式化,直覺甚至比邏輯更有創造力。過去百年間最偉大的科學創造比如電磁學理論、相對論和量子力學,都廣泛地運用了現代數學。20世紀數學的發展更獲得了一種自由,數學在描述和探索物理現象、社會現象時的作用前所未有地擴大了。

也許,數學史所展示的最有趣之處就在于,數學正是在不斷地自我揭發矛盾、自我解決矛盾中得到進步的,這種不確定性也正是其迷人之處所在。

責編:微科普

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