物理學中的“規范”及其歷史起源

物理學中的“規范”及其歷史起源

2017-04-07 09:15:03  科學網/中國科學報
本文作者:施郁

發表時間:2017-04-07 09:15:03作者:施郁來源:科學網/中國科學報字體大小:A+  A-

 本文對物理學中的規范理論作了通俗介紹,然后討論物理學中“規范”一詞的起源。規范本來是尺子或者測度標準的意思。經典電磁學中使用“規范”一詞是在外爾1928-1929年提出電磁場中量子帶電粒子的規范原理之后。如果不是因為外爾曾經于1918-1919年作過失敗的嘗試,試圖從時空中平行移動導致的尺度變化來導出電磁矢量勢,那么后來人們就不會將“規范”一詞用于電磁矢量勢。本文也梳理薛定諤、福克和倫敦的貢獻。

1.     經典電磁學中的“規范”

從目前物理學的學習過程來說,“規范”一詞首先在經典電磁學或者經典電動力學中出現。

電場強度E和磁感應強度B都可以用另外兩個物理量,即矢量勢A和標量勢φ表達:

E=-(1/c)A/t-gradφ,                   1

B=curl,                             2

這里c是光速,A/∂tA對時間的導數,即隨時間的變化率,gradcurl分別代表梯度和旋度。

現在介紹一下上一段出現的數學符號。黑體符號代表矢量,如EBA,是指一個既有方向,又有大小的物理量。非黑體符號代表標量,如φ,只有大小,沒有方向。這些物理量都是空間和時間的函數。標量函數的梯度(grad)是一個矢量,它在任意方向的投影就是在這個方向的變化率。矢量函數的旋度(curl)也是一個矢量,它在任意方向的投影是它沿著圍繞這個方向的一個無窮小閉合路徑的積分,再除以所包圍的小面積。

矢量A3個空間分量,可以和φ統一看成一個4維矢量勢,有4個時空分量,寫作

A0A1,A2A3),

其中A0是時間分量。這類似于時間和空間坐標可以寫作4維時空坐標

x0x1,x2x3),

其中x0=ct

在經典電磁學里,A不是可直接觀測量,φ只有相對差可以測量,它們都有選擇自由度。可以看出,如果由任意標量函數χ定義

A’=A+gradχ,                            3

φ’=φ-(1/c)∂χ/∂t,                        4

那么用A’φ’取代(1)和(2)式中的Aφ,直接可觀測量電場強度E和磁感應強度B保持不變。

3)和(4)被稱作規范變換(gaugetransformation)。在此規范變換下,EB的不變性叫作規范不變(gauge invariance),也就是說在規范變換下的不變性。這兩個名詞是物理學的標準名詞,被普遍使用。“規范變換”一詞甚至被借用到廣義相對論中。

1851年,湯姆森(William Thomson,即開爾文勛爵)首先通過(2)式定義了矢量勢A1856年,麥克斯韋(James Clerk Maxwell)提出法拉第(Michael Faraday)發現的感生電場由(1)式的第1項給出,而且確認A就是法拉第所說的電緊張密度(electrotonic density [1]1880年代,亥維賽(Oliver Heaviside)和赫茲(Heinrich Hertz)發現麥克斯韋方程可以不涉及A,完全由電場強度和磁場強度表達。楊振寧對這些歷史有精彩的解說 [1]

 

2. 量子力學中的規范

簡單地說,量子力學是描述微觀粒子的一套運算規則。在量子力學中,中心概念是量子態。描述粒子在空間中的運動的量子態通常用復數波函數ψ表示,它是空間和時間的函數,它的模的平方代表幾率密度。而可觀測物理量,比如動量、角動量,都表示成作用在波函數上的算符。比如動量算符p等于(h/2πi)grad,能量算符H等于(ih/2π) ∂/∂t其中h是普朗克(Max Planck)常數。Aφ類似,pH/c可以統一看成一個4維動量算符,其中p是空間分量,H/c 是時間分量。

對于與電磁場耦合的電荷為q的粒子,動量算符p和能量算符H作如下改變

p  p-qA /c              5

→ H+qφ                6

甚至可以用gauge(規范化)作為動詞指稱這兩個改變。

在量子力學中,非相對論性粒子的波函數服從薛定諤Erwin Schrödinger)方程,相對論性粒子服從克萊因-戈登(Klein-Gordon)方程或者狄拉克(Paul Dirac)方程。在作變換3)和(4)的時候,波函數也要相應地由原來的ψ做一個相位變換

ψ’=exp(2πiqχ/hc) ψ ,                 7

從而波函數服從的運動方程保持不變,這就是規范不變性(gauge invariance),即規范變換下的不變性。χ是時空坐標的函數,因此規范變換是定域的。如果χ是常數,那么相位變換(7)下的不變性是整體對稱。量子力學與相對論相結合后,或者在多粒子系統的量子場論中,上面的波函數ψ要理解為量子場。

從(5)和(6)式可以得到,電磁場給其中的帶電粒子的波函數帶來一個由電磁勢沿路徑的積分所給出的相位因子,即

ψexp(2πiqS/hc)ψ,                 8

其中

S=A1dx1+A2dx2+A3dx3-cφdt

就是電磁勢沿路徑的積分。1959年,阿哈羅諾夫(YakirAharonov)和玻姆(David Bohm)發現這個相位因子有觀測效應,即使在場強EB消失的區域 [2]。這確立了Aφ的物理實在性。

量子理論框架下的規范原理是外爾(Hermann Weyl)在1928-1929年確立的[3,4,5]。規范原理使得作為電磁場源的電荷的守恒成為規范不變性的后果,而且時空中每個點上都可以有定域規范變換。如果量子粒子不與電磁場耦合,那么就沒有規范不變性,也就是說,與電磁場的耦合保證了規范不變性。為了有規范不變性,電磁場必須存在。因此人們說,電磁場是規范場。

規范場本身的量子化導致它對應的規范粒子,后者是前者的量子。電磁場的量子是光子,沒有質量。

 

3.     -米爾斯理論

1950年代,各種奇異粒子的發現層出不窮,如何確定它們的相互作用成為一個重要問題。在此物理驅動下,1954年,楊振寧和米爾斯(RobertMills)將外爾關于電磁場的規范理論推廣為非阿貝爾(Non-Abelian)規范理論,也叫楊-米爾斯理論[6,7]。楊振寧和米爾斯強調,作為時空坐標的函數,規范變換是定域的。

在楊-米爾斯理論的最初形式中,波函數ψ被推廣為有兩個分量的波函數。基本粒子的量子態是兩種基本內部狀態的疊加狀態,這兩個分量波函數就是疊加系數。數學上可以將這兩個分量波函數一起寫成一個21列的矩陣。相應的規范變換(準確來說,應該叫相位變化)被推廣為一個22列的矩陣變換,也就是說這個22列的矩陣乘以原來的二分量波函數,得到變換以后的新波函數。

做一個類比。一個平面上從坐標原點出發的矢量可以用兩個坐標表示,這兩個坐標可以寫成一個21列的坐標矩陣。矢量繞著原點的轉動就可以用一個22列的變換矩陣來表示。一個22列的變換矩陣乘以一個21列的坐標矩陣,就給出一個21列的新坐標矩陣,它的第一行等于變換矩陣第一行兩個數與坐標矩陣的兩個數分別相乘再相加,它的第二行等于變換矩陣第二行兩個數與坐標矩陣的兩個數分別相乘再相加。

連續作兩次變換就是兩個變換矩陣相乘。一般來說,矩陣相乘與順序有關。數學上,與順序無關的情況叫作阿貝爾(Abelian),與順序有關的情況叫作非阿貝爾。所以楊-米爾斯理論又叫非阿貝爾規范理論。

在楊-米爾斯理論中,對于2分量波函數,引進與某個規范場的耦合,從而將規范場從電磁場推廣到非阿貝爾規范場,保證定域規范不變性以及某種荷的守恒。

粒子與規范場的耦合與(5)和(6)類似。但是,因為粒子波函數是一個21列的矩陣,規范勢的每個時空分量是一個22列的矩陣。楊振寧和米爾斯還給出了由規范勢決定規范場場強的公式,以及粒子波函數與規范場的運動方程。

在電磁規范理論中,運動方程和電磁場場強都是規范不變的。而在楊-米爾斯理論中,規范場場強的每個時空分量都是一個22列的矩陣,它們在規范變換下是有變化的,不是規范不變的,不過,變換與波函數的變換相對應,有規范協變性(gauge covariance)。但是運動方程是規范不變的。非阿貝爾規范勢的每個時空分量由內部狀態空間中若干獨立分量組合而成。獨立分量的個數由規范對稱性的數學性質決定。這導致規范粒子之間也有相互作用,這是與電磁場的一大區別。

1954年的時候,具體來說,楊振寧和米爾斯把定域規范場的思想用在強相互作用關于質子與中子的對稱性,即同位旋守恒,就是說把質子和中子當作同種粒子的兩個內部態。當時對于這種情況下規范粒子質量問題沒有很好的結論,而且后來人們了解到同位旋守恒只是近似的。

但是楊-米爾斯規范理論為確定基本粒子的相互作用提供了一個基本原理[8,9,10]。本來,基本粒子之間的相互作用形式無法確定,楊-米爾斯規范理論規定了相互作用必須是什么樣的。

后來楊-米爾斯規范理論成為描述弱電相互作用和強相互作用的基本理論框架,分別借助自發對稱破缺和漸進自由,導致粒子物理的標準模型。

溫伯格(StevenWeinberg)、格拉肖(Sheldon Glashow)和薩拉姆(Abdus Salam)等人各自在1960年代的工作最終確立了弱電理論。弱電理論的最后形式建立在楊-米爾斯規范理論和自發對稱破缺機制的基礎上。其中有兩種規范場,一個是22列矩陣,在內部空間中有3個獨立分量W1W2W3,另一個規范場像電磁場那樣在內部空間只有1個分量BW1W2的線性組合給出W+W-W3B的線性組合給出Z0和電磁場。W+WZ0的規范粒子質量通過自發對稱破缺獲得,即所謂的安德森-布勞特-恩格萊特-希格斯(Anderson-Brout-Englert-Higgs)機制。電磁場的規范粒子光子無質量。1983年,W+WZ0CERN被魯比亞(Carlo Rubbia)等人觀測到。

描述夸克之間強相互作用的楊-米爾斯規范理論被創始人之一蓋爾曼(Murry Gell-Mann)稱作量子色動力學,其中的規范場是膠子場,與夸克的色自由度耦合。色與弱電理論無關。夸克還有個自由度叫作味,與弱電理論相關,而與色動力學無關。每種味的夸克都有3種色,因此色波函數是31列的矩陣,膠子場是33列的矩陣,在色空間中有8個獨立分量(可以說是8種膠子)。帶色的規范粒子膠子確實如楊-米爾斯理論原本所述,沒有質量,但是通常與夸克一起被禁閉在強子中而不能被孤立出來。

 

4.     為什么要用“規范”這個詞

規范變換(7)實際上是個相位變換,規范場是相位場。那么為什么要用“規范”這個詞呢?是因為原先在經典電磁學里,(3)和(4)就被稱作規范變換嗎?

與直覺的推測相反,答案是否定的。

事實上,這是因為外爾1928-1929年的理論是他1918-1919年理論的修正,而后者所討論的是名副其實的規范不變性。

1918-1919年,受愛因斯坦廣義相對論的鼓舞,外爾試圖用幾何的方法導出電磁場,以便與引力統一。考慮在時空中的平行移動,廣義相對論說時空的彎曲導致矢量方向有變化,而外爾猜想電磁勢導致沿路徑的積分給出一個時空變化因子。但是與后來1928-1929年理論不同,這個因子的指數上沒有虛數單位i,因此不是相位因子,而是標度因子,確實是所謂的“規范”因子。“規范”本是尺子或者測度標準的意思。外爾1918-1919年的理論遭到了愛因斯坦的反對。

外爾1918-1919年的理論建立在3篇論文的基礎上[11,12,13]。楊振寧注意到 [14],外爾在前兩篇論文中,用的名詞是masstab invarianz,翻成英文是measure invariance(測定不變性),在第三篇論文中,他用的名詞是eich invarianz,而eich invarianz1921年被翻譯為英文calibrationinvariance。杰克孫(John David Jackson)和奧肯(Lev B. Okun)注意到[15],英文gaugeinvariance 后來首先出現在外爾本人1929年的英文文章中[4]Eich invarianzcalibration invariance或者gauge invariance就是中文的“規范不變性”。

1922年,薛定諤猜測可以在外爾的規范因子的指數里加上虛數單位i [16]

1922年,卡魯扎(Th. Kaluza)提出5維時空理論,第5維與4維時空之間的度規系數由電磁勢給出。

1926年,薛定諤的4篇系列文章創立了波動力學(與矩陣力學同為當時量子力學的兩種形式),這4篇文章分別于127日、223日、510日、623日被雜志社收到[17,18,19,20]薛定諤的這4篇論文中都沒有提到他1922年修改外爾理論的工作。但是在第4篇論文中,薛定諤指出在電磁場中,帶電粒子的動量和能量算符必須如我們上面的(5)和(6)式 [20]

也是1926年,在薛定諤的波動力學工作帶領下,克萊因(Oskar Klein)和福克(Vladimir Fock)分別獨立討論了卡魯扎理論框架下的波動力學。福克的論文724日被雜志社收到得到,文中在得到波函數運動方程后,又指出在變換(3)、(4)、(7)下的不變性,也就是我們現在所說的規范不變性 [21]

當年1210日左右,倫敦(Fritz London)寫了一封幽默的信給薛定諤,提到后者1922年修改外爾規范因子的工作,并敦促他闡明與波動力學的聯系[22,23]

1969年拉曼(V. V. Raman)和福曼(P. Forman)挖掘出這封倫敦致薛定諤的信后,人們發現,薛定諤1922年的工作對他創立波動力學確實起了作用,他192511月致愛因斯坦的一封信就提到德布羅意理論與外爾理論的聯系 [23,24]

倫敦在192612月給薛定諤寫了信后,自己寫了兩篇文章,將波動力學與外爾1918-1919年的規范理論聯系起來,提出電磁場帶來波函數的相位因子,即我們上面的(8)式[19,20]

終于,外爾在他1928年的書《量子力學中的群論》[3]1929年的兩篇文章中 [4,5],修改了他1918-1919年的理論,將標度因子改為相位因子,但是卻沿用了原來的名詞“eich(規范)”。1929年兩篇文章在他訪問美國普林斯頓時完成。第一篇是英文的,其中出現了英文名詞principle of gauge invariance。第二篇是第一篇的擴充,是德文的,其中還包含其它量子場論基本問題,比如二分量旋量理論。

外爾提出規范不變原理,將電磁場與物質(而非原先所說的電磁場與引力)聯系在一起,為了規范不變原理的成立,電磁場作為物質波的必要伴侶而被推導出來,電荷守恒是規范不變性的后果。

泡利(WolfgangPauli)在他關于場論的著名綜述文章中,介紹了外爾的規范理論[27,28]。學生時代的楊振寧正是通過泡利的綜述對規范原理留下了深刻印象 [8]

 

5.     經典電磁學中“規范”一詞的來源

1977年,楊振寧考證 [14],經典電磁學中的EB在變換(3)和(4)下保持不變的性質原先似乎并沒有一個專有名詞,比如著名的Fopple-Abraham-Becker-Sauter電磁學教材有很多版,而直到1964年英文版,“gauge(規范)”一詞才出現在這部經典電磁學教科書中。

我們核查了很多早期的經典電磁學的書籍,其中有變換(3)和(4),但是確實沒有使用專有名詞。

在楊振寧的1977年文章之后,派斯(Abraham Pais1986年明確斷言 [29],“規范”一詞就是從外爾1919年的文章開始使用的。但是派斯沒有給出這個斷言的理由。我們猜測,他很可能就是從楊振寧文章中得到的信息。

我們認為,eichgauge或者規范本來是尺子或者測度標準的意思,如果不是因為外爾提出平行移動時的尺度變換問題,沒有道理用它來指電磁場的變換性質,所以,“規范”(以德文的形式)應該是從外爾1918-1919年的論文才開始用這個名詞來表示電磁場的性質。而該理論當時被愛因斯坦反對,沒有被人們接受。所以可以理解,“規范”當時也沒有被他人用于經典電磁學。而外爾1928-1929年用量子力學修正的規范理論因為其正確性,被人們接受了,結果“規范”一詞也走進了經典電磁學。

 

致謝

       感謝楊振寧先生幾年前告知筆者“規范”一詞起源問題,以及相關的討論。

 

參考文獻:

[1] Yang C N.Physics Today, 2014, 67(11):45

[2] Aharonov Y,Bohm D. Phys. Rev., 1959, 115: 485

[3] Weyl H.Gruppentheorie und Quantenmechanik. S. Hirzel, Leipzig, 1928.

[4] Weyl, H. Proc.Natl. Acad. Sci. U.S.A. 1929, 15: 323

[5] Weyl H. Z.Phys. 192956330

[6] Yang C N,Mills R. 1954, 95: 631

[7] Yang C N,Mills R. 1954, 96: 19

[8] Yang C N.Selected Papers 19451980 With CommentaryW. H.Freeman and Company Publishers, 1983.

[9] 施郁物理學之美:楊振寧的13項重要科學貢獻物理, 2014, 43(1): 57-62

[10] Shi Y. Beautyand Physics: 13 important contributions of Chen Ning Yang. Int. J. Mod. Phys. A, 2014, 29 (17): 1475001

[11] Weyl H.Sitzber. Preuss Akad. Wiss., 1918: 465

[12] Weyl H. Math.Z., 1918, 2: 384

[13] Weyl H. Ann.Phys., 1919, 59: 101

[14] Yang C. N.Magnetic monopoles, fiber bundles, and gauge fields. Annals of New York Academyof Sciences, 1977, 294 (8): 86-97.

[15] Jackson J D,Okun L B. Rev. Mod. Phys., 2001, 73: 663

[16] Schrödinger E. Z. Phys., 1922, 12: 13

[17] Schrödinger E. Ann. Phys., 1926, 79: 361

[18] Schrödinger E. Ann. Phys., 1926, 79: 489

[19] Schrödinger E. Ann. Phys., 1926, 80: 437

[20] Schrödinger E. Ann. Phys., 1926, 81: 129

[21] Fock V. Z.Phys., 1926, 39: 226

[22] Raman V V,Forman P. Hist. Studies Phys. Sci., 1969, 1: 291

[23] Yang C. N.Square root of minus one, complex phases and Erwin Schrödinger. In Kilmister C W. (ed.) Schrödinger Centenary Celebration of a Polymath. CambridgeUniversity Press, 1987.

[24] Hanle P. Am.J. Phys., 1979, 47: 644

[25] London F. Naturwissenschaften,1927, 15: 187

[26] London F. Z. Phys.,1927, 42: 375

[27] Pauli W. Handbuchder Physik, 2nd Ed. , 1933, 24 (1): 83

[28] Pauli W. Rev.Mod. Phys., 1941, 13: 203

[29] Pais A.Inward Bound. Oxford University Press, 1986

責編:科普知識網

分享到:

>相關科普知識

猫先生