梅森素數

梅森素數

2019-09-27 08:01:37  微科普
本文作者:鄧飛

發表時間:2019-09-27 08:01:37作者:鄧飛來源:微科普字體大小:A+  A-
素數又叫質數,是在大于1的自然數中只能被1和其自身整除的數。每個自然數都可以唯一地分解成有限個素數的乘積,素數因此構成了自然數體系的基石。2300多年前,古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》一書中證明了素數有無窮多個,并提出一些素數可寫成“2^P-1”(即2的P次方減1,其中指數P也是素數)的形式。

由于2^P-1型的素數具有獨特數學性質,千百年來,許多著名數學家以及無數數學愛好者對它情有獨鐘。其中,17世紀的法國數學家馬林·梅森在這方面有過重要貢獻。為了紀念梅森,數學界就將2^P-1 型的素數稱為“梅森素數”(the Mersenne prime)。這種素數珍奇而迷人,因而被稱為“數海明珠”。梅森素數歷來是數學領域的重要分支——數論研究的一項重要內容,也是當今科學探索的熱點和難點之一。

梅森素數貌似簡單,但當指數P值較大時,其素性檢驗的難度就會很大;此外,它的探究需要高深的理論和純熟的技巧,以及艱巨的計算。例如:1772年,享有“數學英雄”美譽的瑞士數學家及物理學家歐拉在雙目失明的情況下,靠心算證明了2^31-1(即2的31次方減1)是個素數;該數有10位(2147483647),堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉的毅力與技巧都令人贊嘆不已;難怪法國大數學家拉普拉斯向他的學生們說:“讀讀歐拉,他是我們每一個人的老師。”在“手算筆錄年代”,人們歷盡艱辛,共計才找到12個梅森素數。

電子計算機的出現,大大加快了探究梅森素數的步伐。1996年初,美國數學家及程序設計師喬治·沃特曼編制了一個梅森素數計算程序,并把它放在網頁上供人們免費使用。這一計算程序就是舉世聞名的GIMPS項目,也是全球首個基于互聯網的網格計算項目。至今人們通過該項目已經找到17個梅森素數。例如:2018年,美國數學愛好者帕特里克·拉羅什通過GIMPS項目,成功發現第51個梅森素數——2^82589933-1(即2的82589933次方減1);該素數有24862048位,是迄今為止人類發現的最大素數。目前,全球有近75萬人參與GIMPS項目,動用了超過195萬核中央處理器(CPU)聯網來尋找梅森素數——這在數學史上前所未有,在科學史上也極為罕見。

值得一提的是,人們在尋找梅森素數的同時,對其重要性質——分布規律的研究也持續進行著。從已發現的梅森素數來看,它們在正整數中的分布極不規則。因此,研究梅森素數的分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。1992年,中國數學家及語言學家周海中運用聯系觀察法和不完全歸納法,率先給出了梅森素數分布的精確表達式,這一重要成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格指出:“周氏猜測具有創新性,開創了富于啟發性的新方法,其創新性還表現在揭示新的規律上。”

探究梅森素數具有重大意義,是發現已知最大素數的最有效途徑,有力地推動了素數論的研究。另外,梅森素數在計算機科學領域具有重要應用價值——它可以用來檢測計算機系統或程序中存在的問題。許多專家認為,梅森素數的研究成果一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數學協會主席、《素數的音樂》一書作者馬科斯·索托伊甚至認為,梅森素數的探究進展不但是人類智力發展在數學上的一種標志,也是整個科技發展的里程碑之一。

(作者單位:澳大利亞國立大學物理與數學學院)

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